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HEOI2015 公约数数列

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pufanyi

题解

发布于：Mar 10, 2019

设计一个数据结构. 给定一个正整数数列a0,a1,...,an−1a_0, a_1, ..., a_{n - 1}，你需要支持以下两种操作：

  1. MODIFY id x：将 aida_{id} 修改为xx。
  2. QUERY x：求最小的整数p(0≤p<n)p (0 \le p < n)，使得gcd⁡i=0pai×⨂i=0pai=x\gcd_{i=0}^pa_i\times \bigotimes_{i=0}^p a_i= x。无解输出no。

n≤100000n \le 100000，q≤10000q \le 10000，ai≤109(0≤i<n)a_i \le 10^9 (0 \le i < n)，QUERY x 中的 x≤1018x \le 10^{18}，MODIFY id x 中的 0≤id<n0 \le id < n，1≤x≤1091 \le x \le 10^9。

题解

前缀 gcd⁡\gcd 序列有一个有趣的性质，那就是后一个数一定是前一个数的因数，所以至少会除22。

于是我们发现前缀 gcd⁡\gcd 序列之多只会有 log⁡\log 个不同的数。

考虑到 gcd⁡\gcd 与⨂\bigotimes没有什么太大的联系，我们考虑枚举gcd⁡\gcd，然后找出⨂i=0pai=xgcd⁡i=0pai\bigotimes_{i=0}^p a_i=\frac{x}{\gcd_{i=0}^pa_i}。

发现仍然很难维护，于是我们考虑分块。

对于每个块维护块内最后一个元素的前缀gcd⁡\gcd，块内gcd⁡\gcd，以及每个元素的前缀异或和。

首先是修改异或和。修改单点后，要将后面所有的 xor\text{xor} 值全部修改。直接对每个块打一个标记即可。

修改 gcd⁡\gcd 也很方便，块内 gcd⁡\gcd 与前缀 gcd⁡\gcd 均可暴力维护。

查询某块时，如果其第一个数的前缀 gcd⁡\gcd（上一个块最后一个数的前缀gcd⁡\gcd 与这一个块的第一个数的 gcd⁡\gcd）与其最后一个数的前缀gcd⁡\gcd 不相等，直接暴力修改。由于前缀 gcd⁡\gcd 序列只有 log⁡\log 个不同的数。单次复杂度是O(nlog⁡n)\mathcal{O}(\sqrt n\log n)。

如果相等，那也就意味着块内所有数的前缀 gcd⁡\gcd 均相等。只要查询前缀 xor\text{xor} 即可。对每个块开一个 map/hash 查一下就可以了。单次操作复杂度O(nlog⁡n)\mathcal{O}(\sqrt n\log n)。

所以总复杂度是O(qnlog⁡n)\mathcal{O}(q\sqrt n\log n)，需要卡常。

博主太菜 luogu 过了 bzoj 没卡过去，假装过了的样子。

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#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <map>
#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int maxn = 100005;

typedef long long LL;

template <class T>
inline void writeln(T x)
{
    if(!x)
    {
        puts("0");
        return;
    }
    if(x < 0)
    {
        putchar('-');
        x = -x;
    }
    int bit[20] = {0};
    while(x)
    {
        bit[++(*bit)] = (x % 10) | 48;
        x /= 10;
    }
    do
        putchar(bit[*bit]);
    while(--(*bit));
    puts("");
}

inline int gcd(int a, int b)
{
    int t;
    while (b)
    {
        t = a % b;
        a = b;
        b = t;
    }
    return a;
}

int n;
int kc, ds;

int hgcd[maxn]; // 块后的前缀 gcd
int kgcd[maxn]; // 块内 gcd
int belong[maxn];
int ll[maxn], rr[maxn];
map<int, int> mp[maxn];
int yuan[maxn];
int qz_xor[maxn];
int lzy_xor[maxn];

inline void modify(int id, int x)
{
    int tx = x;

    // 先改 xor
    x ^= yuan[id];
    for (register int i = id; i <= rr[belong[id]]; ++i)
        qz_xor[i] ^= x;
    mp[belong[id]].clear();
    for (register int i = ll[belong[id]]; i <= rr[belong[id]]; ++i)
    {
        qz_xor[i] ^= lzy_xor[belong[i]];
        if (!mp[belong[id]][qz_xor[i]])
            mp[belong[id]][qz_xor[i]] = i;
    }
    lzy_xor[belong[id]] = 0;
    if (rr[belong[id]] != n)
        for (register int i = belong[id] + 1; i <= ds; ++i)
            lzy_xor[i] ^= x;

    // 然后是 gcd
    yuan[id] = tx;
    kgcd[belong[id]] = 0;
    for (register int i = ll[belong[id]]; i <= rr[belong[id]]; ++i)
        kgcd[belong[id]] = gcd(kgcd[belong[id]], yuan[i]);
    for (register int i = belong[id]; i <= ds; ++i)
    {
        int tmp = gcd(hgcd[i - 1], kgcd[i]);
        if (tmp == hgcd[i])
            break;
        else
            hgcd[i] = tmp;
    }
}

inline int query(LL x)
{
    for (int i = 1; i <= ds; ++i)
    {
        if (!(x % (LL) hgcd[i]))
        {
            int qiangcd = gcd(hgcd[i - 1], yuan[i]);
            if (qiangcd != hgcd[i])
            {
                for(int j = ll[i], nowg = hgcd[i - 1]; j <= rr[i]; ++j)
                {
                    nowg = gcd(nowg, yuan[j]);
                    if(nowg * (LL) (qz_xor[j] ^ lzy_xor[i]) == x)
                        return j;
                }
            }
            else
            {
                LL xx = (x / (LL) hgcd[i]) ^ lzy_xor[i];
                if(mp[i][xx])
                    return mp[i][xx];
            }
        }
    }
    return -1;
}

inline void pre()
{
    scanf("%d", &n);
    kc = sqrt(n);
    ds = n / kc;
    if (n % kc)
        ds++;
    for (int i = 1; i <= ds; ++i)
    {
        ll[i] = rr[i - 1] + 1;
        rr[i] = min(ll[i] + kc - 1, n);
        for (int j = ll[i]; j <= rr[i]; ++j)
        {
            scanf("%d", &yuan[j]);
            kgcd[i] = gcd(yuan[j], kgcd[i]);
            qz_xor[j] = qz_xor[j - 1] ^ yuan[j];
            if (!mp[i][qz_xor[j]])
                mp[i][qz_xor[j]] = j;
            belong[j] = i;
            hgcd[i] = gcd(hgcd[i - 1], kgcd[i]);
        }
    }
}

int main()
{
    pre();
    char s[233];
    int Q;
    scanf("%d", &Q);
    while(Q--)
    {
        scanf("%s", s);
        if(s[0] == 'M')
        {
            int id, x;
            scanf("%d%d", &id, &x);
            modify(id + 1, x);
        }
        else
        {
            LL x;
            scanf("%lld", &x);
            int ans = query(x);
            if(~ans)
                writeln(ans - 1);
            else
                puts("no");
        }
    }
    return 0;
}

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更新于：Dec 26, 2023

数据结构

分块

卡常

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